My PhD thesis (danish)

PhD afhandling: Om tyngdekraften, kvantefysikkens paradokser og asymptotisk dimension

Tyngdekraften

Newton undrede sig over hvad det var, der gjorde at æblet faldt mod jorden. Han ræsonerede at jorden besad en kraft, der trak i æblet. For at komme fra denne ide til gravitationsteorien var det nødvendigt at opfinde et matematik sprog på vejen, som kunne udtrykke forhold mellem kræfter, tid og rum. Sådan opstod differnatialregning, og dens tvillingebror integralregning. Denne noget støvede 400 år gamle matematiske disciplin er velkendt fra gymnasiet, og svarer generelt til befolkningens matematiske almenviden. Derfor er det helt uretfærdigt svært som matematiker at beskrive sit arbejde populærvidenskabeligt. Uretfærdigt, fordi det er nogenlunde ligeså svært at forklare mit forskningsfelt, som det vil være at forklare internettets væsen til Jeppe fra Bjerget.

Kvantefysikkens paradokser

Einsteins relativitetsteori, er en teori der beskriver tings opførsel på den makroskopiske skala: stjernernes baner og lysets hastighed. Det matematiske sprog den bruger er Riemannsk geometri, rum-tiden er en 4 dimensionel Riemannsk mangfoldighed. Den del af matematikken, som beskæftiger sig med Riemannske mangfoldigheder kaldes differentialgeometri.
Kvantemekanikken, formuleret af Dirac og Maxwell, forklarer tings opførsel på den mikroskopiske skala. Den omhandler to hovedbegreber: tilstande og observable. I matematikkens sprog taler vi om vektorer i et Hilbertrum, og observable er selvadjungerede operatorer på disse vektorer. Den del af matematikken som beskæftiger sig med operatorer på Hilbertrum kaldes funktionalanalyse. På Syddansk Universistet har vi en stærk, internationalt anerkendt forskninggruppe ledet af professor Uffe Haagerup – Danmark bedste matematiker, der arbejder et skridt længere henne, og undersøger hvordan operatorer på Hilbertrum påvirker hinanden – det kaldes for operator algebra.

Tæt ved et roterende sort hul bevæger tiden sig anderledes, på grund af hullets enorme masse, og bliver normal igen her på jorden. Det er et paradoks, og for at bedre kunne forstå hvordan tid og rum hænger sammen, skal fysikken bruge nyt matematisk værktøj!

Black hole
Black hole

Ikke kommutativ geometri

Så som matematikere arbejder vi på at skabe et sprog og et værktøj, til at forstå hvordan tiden og rummet virkeligt hænger sammen. Til det formål studerer vi de rum, hvor koordinaterne ikke kan byttes om – den såkaldte ikke kommutative geometri.

Problemet er at på mikroskopisk niveau bliver vort traditionelle afstandsbegreb utilstrækkeligt. For eksempel er det i en vis forstand ikke muligt at på samme tid bestemme både længde og højde af en lille kasse. Matematisk kan situationen beskrives ved at sige at rumkoordinaterne ikke kommuterer, dvs. vi kan ikke bytte om på rækkefølgen.
Alain Connes – en farverig personlighed, modtager af Fields medaljen (som er matematikernes Nobelpris) har grundlagt studiet af ikke kommutative rum. Han har sammen med Paul Baum postuleret Baum-Connes Formodningen, som er et spørgsmål om hvorvidt geometriske og analytiske værktøjer passer sammen for ikke kommutative rum – og et at de første spørgsmål man kan stille sig, når den ikke kommutative geometri skal udforskes. Forskningsfronten er levende, og Baum-Connes Formodningen har vidtrækkende forgreninger til både talteori og geometri. Hvis den er rigtig, vil den løse mange åbne problemer, som har plaget matematikerne i årevis.

Grov geometri og asymptotisk dimension

Traditionel geometri beskæftiger sig med begreber som kontinuitet, som studerer fænomener på mikroskopisk skala, ned til detaljen i det enkelte punkt. Grov geometri derimod, er ligeglad med mikroskoppet, men studerer fænomerne i ekstrem stor skala, hvordan rummet opfører sig når vi går mod uendeligt. Asymptotisk (det vil sige langt, langt væk) – Dimension, er et dimensionsbegreb der passer naturligt til grov geometri, og studerer ”størrelse” af rum i grov skala.

Hvis man forestiller sig et komplekst økosystem, såsom savannen i Afrika, eller Sydamerikas regnskove, lever der mange dyrerarter side om side. Men systemet kan ikke føde en enkel dyrart, hvis der er for mange af dem på samme sted.

Løverne og antilopperne har hver deres vandre territorie, så der kommer afstand mellem flokkerne, og dyrene ikke udsulter hinanden. Et lille økosystem rummer et par dyrearter, et kompleks kan have tusindvis. Man kan derfor betragte antallet af dyrearter, som kan leve side om side, uden at flokke af samme art træder hinanden over tæerne som et udtryk for dimensionen af økosystemet. En matematiks formalisering af denne måde at betragte rummets udstrækning på kaldes
for Asymptotiske Dimension.

Afstande hedder metrikker

En metrik beskriver hvordan man kan måle afstande i et givent rum. Fx er den korteste afstand i bil og på cykel ikke altid de samme, der kan være mange bakker undervejs, og derfor har den by som en bilist og en cyklist navigerer rundt i ikke ens struktur. Matematisk set kan man beskrive det som om byen Odense har forskellige metrikker – en bilist metrik, og en cyklist metrik. Byen er dog den samme – metrikken giver bare en ny måde at betragte den på.

Forskningsresultater

Jeg viser i min Ph.D.-afhandling, at enhver lokalkompat gruppe har en speciel slags metrik, en såkaldt plig, som gør det muligt at konstruere en virkning af gruppen på et såkaldt strictly convex Banach rum. Et Banach rum er en slags uendeligt dimensionalt rum udstyret med længde. En virkning er som en slags fingeraftryk af gruppen på rummet, og den virkning som jeg konstruerer har den egenskab at den gengiver rummets grove struktur.

Gruppeteori er studiet af symmetrier i rummet. En lokal kompakt betyder et rum, der på mikroskopisk skala ligner det euklidiske rum, for eksempel det 3 dimensionelle rum som vi lever i til dagligt. Jeg bruger konstruktionen af en plig metrik til også at bevise at alle lokal kompakte næsten sammenængende grupper har endelig asymptotisk dimension. Nu er det sådan, at et Hilbert rum er et Banach rum, hvor vektorerne kan ganges sammen med et såkaldt indre produkt. Måske kan du huske Hilbertrum fra forrige afsnit – det er det rum som kvantemekanikken er konstrueret i.

Åh, bare man kunne!

Åh, hvis man bare kunne konstruere en virkning der gengiver den lokalkompakte gruppes grove struktur på et Hilbertrum, sådan som jeg har gjort det i min phd-afhandling for strictly konvekse Banach Rum, så ville vi have et bevis for Baum-Connes formodningnen.

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s